Mencari Akar Pangkat Tiga Sebuah Bilangan

Oleh Al Jupri http://mathematicse.wordpress.com/2009/06/03/mencari-akar-pangkat-tiga-sebuah-bilangan/

Demikian kurang lebihnya satu pertanyaan yang diajukan oleh salah seorang komentator di blog ini. Mulanya akan langsung saya jawab pertanyaan tersebut di kolom komentar. Namun, saya berpikir bahwa pertanyaan tersebut akan lebih bermanfaat bila saya jawab dalam bentuk sebuah artikel. Karena itu, inilah jawaban yang (baru) bisa saya berikan!
Mencari nilai dari , secara geometris, berarti menentukan panjang rusuk sebuah kubus yang volumnya adalah satuan volum. Dengan menggunakan sedikit kemampuan menaksir (memperkirakan), maka dengan mudah kita dapatkan bahwa perkiraan panjang rusuk sebuah kubus–yang mempunyai volum 100 satuan volum– adalah 4, 64… satuan panjang. Sehingga, kita bisa menyimpulkan bahwa nilai dari kira-kira adalah 4, 64….
Cara lain untuk mempermudah dalam menentukan akar pangkat tiga sebuah bilangan adalah dengan menggunakan bantuan sifat-sifat logaritma–dipelajari di tingkat SMA (Sekolah Menengah Atas). Untuk kasus di atas, dalam menentukan adalah sebagai berikut.
Misalkan , maka dengan menggunakan sifat-sifat logaritma, kita bisa menulis seperti berikut ini:
log log
log log
log log
log
log
log
Dengan menggunakan tabel logaritma, anti logaritma dari log kira-kira adalah . Dengan demikian, .
Nah, untuk kasus yang lain dapat ditangani dengan cara yang serupa dengan memanfaatkan sifat-sifat logaritma. Dengan menggunakan cara serupa di atas (menggunakan sifat-sifat logaritma), kita pun dapat menentukan akar pangkat ke-n dari suatu bilangan.
Bagi Anda yang kesulitan mengikuti proses penentuan akar pangkat tiga–dengan menggunakan sifat-sifat logaritma, saya mohon maaf, karena salah satu caranya memang begitu yakni: menggunakan sifat-sifat logaritma yang dipelajari di tingkat SMA.
Bagi Anda yang memiliki cara lain, saya undang untuk menginformasikannya di kolom komentar. Terima kasih!
=======================================================
Ya sudah segitu saja ya jumpa kita kali ini. Mudah-mudahan artikel ini ada manfaatnya. Amin
Sampai jumpa di artikel mendatang!

Read More

Rahasia Rumus-rumus “Cepat” Matematika

Oleh: Al Jupri http://www.blogger.com/post-create.g?blogID=5186258490480359947

Dulu, ketika saya masih baru menjadi mahasiswa baru tingkat pertama, saya berkenalan dengan salah seorang mahasiswa baru lainnya yang di kemudian hari menjadi teman baik saya. Ketika awal perkenalan, kami pun ngobrol kesana-kemari. Tanya sana-tanya sini. Jawab sana, jawab sini. Hingga ia pun akhirnya bercerita bahwaa nilai tes Matematika Dasar-nya, yaitu salah satu mata pelajaran yang diujikan di UMPTN*, adalah 100 alias benar semua.
Mendengar ceritanya tersebut, saya pun terkagum-kagum dibuatnya. Dalam pikiran saya, saya berkesimpulan “Wah ia pasti orang yang sangat pandai”. Rasa kagum saya mendorong rasa ingin tahu saya tentang pengetahuannya dalam matematika. Akhirnya, dalam masa awal perkenalan itu, saya ajak ia ngobrol tentang matematika yang sudah pernah kami pelajari ketika semasa SD sampai SMA dulu.
Dari obrolan tersebut, saya jadi tahu, ternyata ia benar-benar luas pengetahuan tentang matematika yang sudah dipelajarinya. Hingga akhirnya, mungkin untuk menunjukkan kepiawaiannya, ia mengajak saya adu cepat mengerjakan soal matematika.
Mendapat tantangan itu, sebenernya saya ngeper juga. Karena saya merasa tak sepandai dirinya. Namun, karena ini namanya juga bukan lomba dan bukan apa-apa, saya sih mau saja waktu itu. Soal-soal pun dipilih secara acak dari buku kumpulan soal-soal latihan tes UMPTN* dan EBTANAS** beberapa tahun sebelumnya yang masih rajin ia bawa ke mana-mana. Kemudian, adu cepat menyelesaikan soal matematika pun dimulai.
Bagaimana hasilnya? Siapa yang tercepat?
Ternyata benar, dalam beberapa menit saja, teman saya itu berhasil menyelesaikan semua soal yang sudah dipilih tadi (karena yang dipilih cuma 3 soal sih). Dan ia keluar sebagai yang tercepat, menjadi pemenang. Sedangkan saya, satu soal pun belum mampu saya selesaikan. Waktu itu, saya terlalu berkutat dengan soal nomor pertama yang lumayan sukar untuk ukuran saya waktu itu. Walau sudah dengan segenap kemampuan saya berusaha menyelesaikannya, tapi ternyata, sampai waktu habis belum ketemu juga. Saya pun mengakui kelebihan dan kehebatannya.
Dengan sedikit malu-malu, saya bertanya padanya tentang soal yang belum bisa saya selesaikan tersebut. Sambil saya tanyakan pula kenapa ia begitu cepat bisa menyelesaikan soal-soal tersebut. Soal yang waktu itu belum bisa saya selesaikan adalah seperti berikut ini.
Soal: Bila a + 1/a = 5, maka nilai dari a3 + 1/a3 =…
Dengan cepat teman saya itu pun menyelesaikan soal tersebut seperti berikut ini:
a3 + 1/a3 = (a + 1/a)3 – 3a.1/a(a + 1/a) = 53 – 3(5) = 125 – 15 = 110.
Melihat cara penyelesaiannya, saya hanya bisa melongo waktu itu. “Cuma satu baris? Padahal saya mencoba menyelesaikannya berbaris-baris, dan belum ketemu juga”, itu yang ada di pikiran saya. Kemudian, saya pun bertanya ke teman saya itu, kenapa cara pengerjaannya seperti itu?
Dengan senang hati, ia pun menjelaskan ke saya. Ia katakan bahwa, soal semacam tersebut dapat dengan mudah diselesaikan dengan rumus “cepat” berikut ini.
a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) ………………………………..(1)
Dengan mengganti b dengan 1/a, katanya, maka soal tadi dapat diselesaikan dengan cepat seperti yang sudah dikerjakannya tadi.
Saya yang tak terbiasa menggunakan rumus “cepat” ketika di SMA dulu, penasaran ingin tahu alasan kenapa rumus “cepat” tersebut bisa dipakai. Tapi sayang, teman saya itu tak memberi tahu saya. Malahan ia menambah lagi rumus cepat yang sudah ia ketahuinya, yaitu:
a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)……………………………….(2)
Akhirnya, ngobrol-ngobrol pun beres. Ia bergegas pulang menuju kost-kost-annya. Saya pun begitu, pulang dengan rasa penasaran yang mengganjal.
Di kost-kost-an, dengan penuh rasa penasaran ingin tahu, saya pun mengutak-atik rumus “cepat” yang telah ia gunakan tersebut. Setelah beberapa waktu lamanya, akhirnya, terpecahkan juga rahasia rumus “cepat” yang dipakai teman saya tersebut. Saya berhasil menelusuri asal-muasal rumus “cepat” tersebut, berhasil menguak rahasianya. (Duh rasanya begitu senang sekali, tak bisa saya ekspresikan dengan kata-kata).
Hasil penelusuran saya tersebut, setelah saya rapikan, seperti berikut ini.
(a + b)3 = (a + b)2(a + b)
= (a2 + 2ab + b2)( a + b)
= a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + b2a + b3
= a3 + b3 + 3a2b + 3ab2
= a3 + b3 + 3ab (a + b)
Jadi, (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab (a + b).
Sehingga, a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab (a + b). Rumus “cepat” (1) dapat saya buktikan kebenarannya. Kemudian, dengan cara serupa, saya pun berhasil menelusuri asal-muasal rumus “cepat” (2).
Walaupun apa yang telah saya lakukan tersebut sederhana, tapi bagi ukuran saya waktu itu adalah sesuatu yang menggembirakan hati, menyenangkan pikiran, dan memuaskan dahaga keingin-tahuan saya.
Sejak saat itu, bila ada rumus-rumus “cepat” yang saya temui di buku-buku bimbingan tes, saya pun terpacu untuk menelusuri asal-muasalnya. Dengan cara seperti itu, saya seringkali berhasil memecahkan rahasia rumus-rumus “cepat” yang selama ini beredar luas di kalangan siswa yang mengikuti bimbingan test.
Baiklah, segitu dulu saja ceritanya ya…, lain kali insya Allah saya akan membahas baik-buruknya penggunaan rumus “cepat” (Ada satu cerita yang sangat menggelikan tentang hal ini. Mau tahu? Silakan tunggu di postingan mendatang…). Sampai di sini dulu ya…, mudah-mudahan bermanfaat.
Sebagai bahan latihan untuk Anda, cobalah telusuri asal-muasal rumus-rumus “cepat” berikut ini.
Persamaan garis yang melalui titik (0, a) dan (b, 0) adalah ax + by = ab.
Perhatikan gambar berikut. Panjang PQ dapat ditentukan dengan mudah, yaitu:
PQ = (AP. DC + DP. AB)/(AD)


Catatan:
*UMPTN: Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri (Saat ini namanya SPMB)
**EBTANAS: Evaluasi Belajar Tahap Akhir Nasional (Saat ini namanya UAN)
========================================================
Update: Artikel ini bisa juga dibaca di sini.

Read More

Menanamkan Kebiasaan Belajar yang Baik

ditulis oleh: Lianneke Gunawan dari berbagai sumber

Banyak guru pada umumnya memberi tip untuk murid bagaimana cara belajar yang baik. Namun untuk menanamkan dan mengembangkan belajar sebagai kebiasaan yang baik sangatlah sulit. Guru tidak bisa selalu memaksa murid untuk menjadikan belajar sebagai kebiasaan yang harus mereka lakukan sehari-hari. Apalagi bila murid sudah ada di rumah mereka.
Untuk menanamkan kebiasaan belajar yang baik selalu perlu adanya diskusi antara guru dengan murid. Tentu saja, diskusi ini untuk menyelesaikan tiap langkah yang harus dilakukan untuk menyelesaikan suatu tugas sekolah agar murid terpancing untuk selalu kritis dan mengemukakan pendapatnya. Dengan sendirinya semangat belajar akan terbentuk.
Guru juga dapat melakukan penelitian dan observasi dengan murid di lapangan. Sehingga belajar tidak melulu dilakukan di dalam kelas. Setelah dilakukan penelitian, murid mencatat apa saja yang telah mereka pelajari dari penelitian mereka. Ini dapat menjadikan proses belajar lebih menarik dan tidak membosankan.

Read More

Hidup “SEHAT” di Kota Polusi

ditulis oleh: Lianneke Gunawan dari berbagai sumber

Jika Anda hidup di kota besar, banyaknya polusi menambah tingkat kesulitan untuk menerapkan hidup "sehat" saat ini. Terlebih dengan adanya pilihan makanan yang sangat bervariasi. Entah itu makanan yang bergizi atau malahan makanan yang mengandung lemak tinggi. Namun kita harus tetap berusaha untuk dapat menjalankan hidup sehat tersebut, terutama menerapkah hidup "sehat" bagi anak-anak kita.
Berikut ini merupakan trik agar kita bisa tetap hidup sehat di tengah-tengah "serangan" polusi:1. Perhatikan makanan bergiziSelain makanan 4 sehat 5 sempurna, yang disarankan adalah penganan yang mengandung kalsium tinggi. Sederhananya, jika tubuh fit, secara alamiah kita akan lebih resistan terhadap polusi, termasuk zat-zat yang tidak diperlukan tubuh.
2. Olahraga rutinOlahraga membuat metabolisme tubuh semakin baik sehingga selalu siap menangkap dan mengeluarkan zat-zat yang berbahaya bagi tubuh termasuk bakteri, virus dan polutan.
3. Membersihkan udara di rumahMenggunakan penyejuk udara (AC) sebenarnya tidak terlalu berarti. Justru AC yang menggunakan ozon bisa menimbulkan ground ozone yang membahayakan karena sifatnya beracun. Lebih baik, sediakan ventilasi rumah sebanyak mungkin untuk mendapat udara segar. Kalaupun ingin menggunakan AC, pilih yang aman untuk lingkungan (biasanya tertera pada produk). Tidak lupa lakukan perawatan berkala, seperti bersihkan saringan minimal sekali seminggu dan hindari penggunaan yang terus-menerus.
4. Menghijaukan lingkunganLakukan penghijauan di rumah. Kenapa tumbuhan begitu penting? Karena tanaman bisa menghisap partikel-partikel (zat-zat polutan) yang bebas di udara.
5. Berlibur ke pegunungan atau pantaiSempatkan waktu untuk berlibur ke daerah yang rendah polusi seperti ke pegunungan atau pantai. Setidaknya bisa jadi refreshing dan membuat kita "lepas" dari polusi meski hanya untuk sementara waktu.
Jadi, siapkan diri Anda mulai hari ini untuk menerapkan hidup "sehat". Semoga trik-trik diatas bermanfaat!

Read More

Ajak Anak Kritis Membaca

ditulis oleh: Lianneke Gunawan dari berbagai sumber

Bila suatu kali anak Anda antusias menceritakan sebuah buku yang dibacanya, mungkin tak henti-hentinya dia akan membicarakan tentang buku itu. Itulah pertanda bahwa anak Anda tertarik dan menyukai buku itu. Maka yang dapat Anda lakukan untuk merangsang kemampuannya membaca adalah:
Tanya padanya, apa yang istimewa dari buku itu. Mengapa dia begitu terkesan?
Ajak anak membicarakan karya-karya lain dari si pengarang buku itu (bila membaca suatu buku dongeng atau cerita anak). Adakah kemiripannya? Apakah anak Anda juga menyukai buku-buku yang lain itu?
Bagaimana dengan kisah serupa pengarang yang lain? Tantang dia untuk membandingkan dan mempertentangkan buku-buku bertopik serupa. Mana yang dia suka? Mengapa?
Minta dia menceritakan kembali isi buku itu agar dia belajar membuat ringkasan.

Read More

Bagaimana membuat anak mau mempelajari hal-hal baru?

Melihat anak belajar sesuatu yang baru tanpa disuruh apalagi dipaksa, pasti membuat setiap orangtua senang melihatnya. Untuk menjadikan hal tersebut kenyataan, peran orangtua di rumah sangat mempengaruhi pola pikir pada anak. Berikut ini adalah tips agar anak mau mempelajari hal-hal baru:
Dukung dan berikanlah perhatian agar dapat memompa semangat belajarnya.
Ajaklah anak bermain dengan alat permainanan yang mempunyai penjelasan secara teoritis seperti sebab-akibat. Hal ini dapat memacu anak untuk ingin tahu.
Apabila di sekolah anak hanya mendapatkan teorinya berikanlah pelajaran praktek saat di rumah karena dapat menumbuhkan rasa ingin tahu dan anak menjadi semakin bersemangat untuk belajar.
Berikan pujian dan penghargaan atas hasil karya, maka anak akan bersemangat untuk berprestasi.
Hindari menggunakan kata-kata kasar pada anak, karena dapat menimbulkan anak menjadi semakin rendah diri.
Berikan bimbingan serta kalimat yang membuat hatinya senang, sebagai motivator saat belajar.
Orangtua yang senang membaca dapat mendorong anak untuk senang membaca pula, kemudian bahaslah bersama anak apa yang telah dibaca. Cara ini dapat membantu anak untuk berpikir secara praktis.

Read More

10 Cara untuk Meningkatkan Prestasi di Sekolah

ditulis oleh: Lianneke Gunawan dari berbagai sumber 10 cara penting yang dapat kamu lakukan untuk meningkatkan prestasi di sekolah:
1.
Jadilah seorang pemimpin. Latihlah rasa tanggung jawabmu.Apabila guru meminta bantuanmu untuk mengerjakan sesuatu misalnya membersihkan kelas, jangan ragu untuk menerimanya. Ajak beberapa teman kelas dan pimpin mereka untuk membersihkan kelas bersama-sama.
2.
Mendengarkan penjelasan guru dengan baik.Jawablah setiap pertanyaan yang diajukan oleh guru apabila kamu mengetahui jawabannya. Jangan menunggu guru untuk memanggil kamu untuk menjawab pertanyaan.
3.
Jangan malu untuk bertanya.Selalu ajukan pertanyaan kepada guru apabila tidak mengerti tentang sesuatu hal.
4.
Kerjakan PR dengan baik, jangan selalu mencari alasan untuk tidak mengerjakannya.Jangan malas mengerjakan PR dengan alasan lupa atau menunda-nunda mengerjakannya. Enak kan kalau kita cepat mengerjakan PR, jadi masih punya banyak waktu untuk bermain dan nonton TV deh!
5.
Setiap pulang dari sekolah, selalu mengulang pelajaran yang tadi diajarkan.Nanti sewaktu ada ulangan jadi tidak banyak yang harus dipelajari! Asyik!
6.
Cukup istirahat, makan dan bermain.Semuanya dilakukan secara berimbang. Setelah pulang sekolah, kita sering ingin cepat-cepat bermain dan melupakan segala hal penting lainnya, contohnya makan dan istirahat. Padahal setelah seharian di sekolah, tak terasa badan kita membutuhkan masukan energi tambahan yang bisa didapatkan dari istirahat dan makanan yang kita makan. Oleh karenanya kita harus dapat membagi waktu untuk makan, istirahat dan bermain. Kalau semuanya dilakukan dengan baik, badan jadi segar setiap hari! Jadi tidak sering mengantuk di kelas!
7.
Banyak berlatih pelajaran yang kurang disuka.Apabila kamu tidak menyenangi suatu mata pelajaran, contohnya matematika, maka banyak-banyaklah berlatih, mengikuti kursus atau belajar berkelompok dengan teman. Sehabis belajar bisa bermain dan menambah teman baru di tempat kursus. Selain itu, siapa tahu dari kurang menyukai matematika, kalian malahan menyukainya.
8.
Ikutilah kegiatan ektrakurikuler yang kamu senangi.Cari tahu kegiatan apa yang cocok dan kamu suka. Contohnya apabila kalian suka pelajaran tae kwon do, cobalah untuk mengikuti kursus dari kegiatan tersebut, sehingga selain belajar pelajaran-pelajaran yang diajarkan di sekolah, kalian juga dapat mendapatkan pelajaran tambahan di luar sekolah.
9.
Cari seorang pembimbing yang baik.Orangtua adalah pembimbing yang terbaik selain guru. Apabila ada yang kurang jelas dari keterangan guru di sekolah, kalian dapat menanyakan hal tersebut kepada orang tua. Selain itu, kalian juga dapat belajar dari teman yang berprestasi.
10.
Jangan suka mencontek teman.Kalau mencontek, kamu bisa bodoh karena tidak berpikir sendiri. Lagipula belum tentu, teman yang kamu contek itu menjawab pertanyaan dengan benar. Belum lagi kalau ketahuan guru dan teman lain, malu kan? Kalau kamu rajin belajar, pasti bisa menjawab semua pertanyaan dengan benar sehingga ulangan dapat nilai baik.

Read More

Dalam 100 Hari. Mendiknas Sukses Internetkan 18 Ribu Sekolah

Jakarta, Kominfo Newsroom -– Tiga dari delapan program kerja 100 hari Kementerian Pendidikan Nasional RI telah mencapai target 100 persen, kata Mendiknas Mohammad Nuh dalam pertemuan dengan wartawan di Gedung Kemendiknas RI di Jakarta, Selasa (5/1).
Program pertama yang telah selesai adalah penyediaan internet secara massal di sekolah-sekolah. Dari target 17.500 sekolah, katanya, telah tercapai 18.358 sekolah atau melebihi target.
Hadir pada acara penjelasan kepada para wartawan itu di antaranya Sekjen Kemendiknas Dodi Nandika, Dirjen Dikti Fasli Jalal, Dirjen PMPTK Baedhowi, Dirjen Mandikdasmen Suyanto, Dirjen PNFI Hamid Muhammad dan Irjen Kemendiknas M. Sofyan Lakki.
Mohammad Nuh menyebutkan, dari 33 provinsi, terdapat dua provinsi yang belum mendapatkan tambahan koneksi internet, hal itu karena keterbatasan infrastruktur pendukung. Dua provinsi itu adalah Maluku Utara dan Papua Barat.
''Untuk dua provinsi ini kami akan memasukkannya dalam program khusus. Jadi tidak masuk dalam program 100 hari karena memang ketersediaan infrastruktur pendukungnya relatif terbatas,'' katanya.
Mendiknas Mohammad Nuh menambahkan, program lainnya yang telah selesai 100 persen adalah beasiswa perguruan tinggi negeri (PTN) untuk 20.000 siswa SMA/SMK/MA berprestasi dan kurang mampu.
''Kemendiknas juga telah selesai menyusun dokumen Rencana Strategis Kemendiknas 2009-2014,'' katanya.
Sement era itu Dirjen Peningkatan Mutu Pendidik dan Tenaga Kependidikan (PMPTK), Kemendiknas, Baedhowi mengatakan, untuk melaksanakan program 100 hari, sejak Desember 2009 pihaknya mulai menyiapkan pelatihan bagi 30.000 kepala sekolah/pengawas dan menyusun kebijakan khusus bagi guru yang bertugas di daerah terdepan dan terpencil.
Terk ait sertifikasi guru, katanya, mulai tahun 2010, tunjangan profesi guru, terutama yang lulus sertifikasi kuota tahun 2007, 2008, dan sebagian 2009 akan ditransfer melalui dana alokasi umum (DAU).
''Jumlah sasaran untuk 386.641 guru yang akan dialokasikan ditransfer,'' katanya.
Sement ara itu Dirjen Manajemen Pendidikan Dasar dan Menengah (Mandikdasmen) Kemendiknas Suyanto mengatakan, alokasi dana untuk Bantuan Operasional Sekolah (BOS) tahun 2010 tidak mengalami kenaikan karena sudah dinaikkan cukup signifikan dari tahun 2009.
Dia menyebutkan, unit cost untuk SD kabupaten Rp 397 ribu, SD kota Rp 400 ribu, SMP kabupaten Rp 570 ribu, dan SMP kota Rp 575 ribu.
''Angka absolut BOS yang digelontorkan tetap naik akibat dari kenaikan jumlah siswa yang masuk SMP dari SD,'' katanya.
Menuru t Suyanto, untuk jenjang SMA dan SMK diberikan bantuan operasional manajemen mutu (BOMM). Pada 2010 sasarannya adalah 2,1 juta siswa SMA sebesar Rp 189 ribu/siswa/tahun dan tiga juta siswa SMK Rp 360 ribu/siswa/tahun.
''Selain itu juga diberikan beasiswa untuk anak-anak yang kurang mampu tanpa memandang prestasi bagi 1,8 juta siswa SD, 751 ribu siswa SMP, 248 ribu siswa SMA dan 305 ribu siswa SMK,'' katanya dan menambahkan bahwa beasiswa juga diberikan kepada 211 ribu mahasiswa. (T.Ad/ysoel)

Read More